Aki nem humán képzésre járt felsőoktatási tanulmányai során, az biztosan hallott már a lineáris algebráról és arról, hogy a lineáris algebra segítségével meg lehet oldani lineáris egyenletrendszereket. Az elemi bázistranszformáció tipikusan egy ilyen módszer. A legtöbben csak mechanikusan oldják meg, és kevesebben ismerik a számítás valódi hátterét.
A bázistranszformációs trükk
A bázistranszformáció során elimináljuk a pivot elemek oszlopait, de ez nem azt jelenti, hogy az oszlopokban lévő értékekkel nem történik semmi érdemleges. Sok oktató már eleve az oszlopeliminációra ugrik, ami arra készteti a tanulót, hogy algoritmikusan, a mögöttes tartalom megértése nélkül oldja meg a feladatot. Viszont éppen a kimaradó elemekkel történnek a legérdekesebb dolgok. Vegyük a következő lineáris egyenletrendszert:
Írjuk fel a kibővített együttható-mátrixot!
Válasszunk egy pivot elemet, mondjuk, legyen ez a kettő! Ilyenkor a pivot elem sorát elosztjuk a pivot elemmel:
A többi elemre az alábbi szabály érvényesül, amelyet téglalapszabálynak hívunk:
Ahol:
- q: adott elem:
- r (row): a pivot elem sorában, és a kérdéses elem oszlopában lévő elem
- c (column): a pivot elem oszlopában és a kérdéses elem sorában lévő elem
- p: a pivot elem
Mi történik az öttel bal felül? (Ne feledjük, itt még a korábbi mátrixot használjuk, ahol nem osztottuk le a pivot elem sorát a pivot elemmel!)
Azért szerepel az 5-ös két helyen, mert a pivot elem oszlopában és a kiválasztott elem sorában éppen maga az 5-ös áll. Ezekben a speciális esetekben, amikor a pivot elem oszlopában lévő értékeket kezeljük, r mindig egyenlő a pivot elemmel, míg c a transzformálandó értékkel, azaz q-val, így nem kaphatunk más értéket, mint nullát. De számoljunk tovább! Jön a 6-os.
A köztes állapot pedig:
Mivel abból a sorból, ahonnan már korábban választottunk pivot elemet, nem választhatunk újabbat, ezért jó megoldásnak tűnik -4. (Azért nem választhatunk abból a sorból, ahonnan már került ki pivot elem, mert nem kéne elrontani az egyes együtthatót.)
Osszunk le a pivot-elemmel! Ez lesz az első sor:
A második sor megmaradt elemeire ismét alkalmazzuk a téglalapszabályt:
A teljes együttható-mátrix pedig így alakul:
Helyettesítsük vissza az x1-et és az x2-t:
A folyamat végén a baloldalon egy egységmátrixot kapunk, ami lehetővé teszi, hogy egy sorban csak egyetlen ismeretlennek legyen nem nulla (hanem egy) együtthatója.
